5- Integrais

Integração por partes



Exercício:

5- Integrais

Regra da substituição
Se u=g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então:




Exercício:

5- Integrais

Teorema da Variação Total:

A integral de uma taxa de variação é a variação total:

5- Integrais

Integrais Indefinidas

5- Integrais

Teorema Fundamental do Cálculo

5- Integrais

Integral Definida

Se f é uma função contínua definida por :

dividindo o intervalo em [a,b]



Então a integral definida de f de a para b é

4- Aplicações da diferenciação

CURIOSIDADE

Regra de L'Hôspital é assim chamada em homenagem ao nobre francês, o marquês de L'Hôspital (1661-1704), mas foi descoberta pelo matemático suíço John Bernoulli (1667-1748)

Marquês de L'Hôspital













John Bernoulli

4- Aplicações da diferenciação

Regra de L'Hôpital







Exercício:

4- Aplicações da diferenciação

Um exemplo para ilustrar o teorema do valor intermédio, vamos considerar a função




Uma vez que f é um polinómio, então ela é contínua e diferenciável em todo o x; logo, é certamente continua em [0,2] e diferenciavel em (0,2). Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um numero c em (0,2) tal que :

3- Regras de diferenciação

Diferenciação implícita

Considere que a variável y depende da variável x

Existem:

- Função explícita: y está escrita directamente em termos de variável x



- Função implícita: y não está escrita directamente em termos de variável x




Uma função implícita pode se tornar numa função explícita

Para se calcular a derivada de uma função implícita é necessário usarmos a Regra da Cadeia

3- Regras de diferenciação

Regra da cadeira

3- Regras de diferenciação

Teorema importante:

Se f é diferenciável em a, então f é continua em a.

2- Limites e derivadas

Teorema do valor intermédio







Gráfico:













Gráfico 1 Gráfico 2

Como a função f é contínua uma vez que é um polinómio, o Teorema do Valor Intermédio estabelece que existe um numero c entre 1 e 2 tal que f(c)=0 . Entre outras palavras, a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2).

2- Limites e derivadas

Teorema do sanduíche (ou conforto)

Exercício:

2- Limites e derivadas

Continuidade

Exercício:

Verifique se a função é continua :





















Nota :

2- Limites e derivadas

Limites Notáveis:

Exercícios:

Determine:











Formulário:

2- Limites e derivadas

Assimptotas Horizontais

Exercício:






Nota 1: a recta y=L é assimptota horizontal de f(x) se :

Nota 2: quando o limite tende para infinito selecciona-se o termo de maior grau.

Gráfico:

2- Limites e derivadas

Assimptotas Verticais

Encontre :




Resolução:






Nota 1: A recta x=a é assimptota vertical se f(x) satisfizer as seguintes condições:









Gráfico:


Logo x=3 é assimptota vertical desta função. E pelo visionamento do gráfico conseguimos encontrar uma assimptota horizontal y=2